What is correlation r formula in statistics research methodology in hindi english

Correlation: Complete Guide — English / हिंदी

This post explains Pearson, Spearman, Point–Biserial, Phi, and Partial correlations in both English and Hindi. Use the tabs below to switch language.

1. Pearson Correlation (Linear correlation)

Use when: both variables are continuous and relationship is roughly linear. For inference, assume bivariate normality or large sample.

Sample formula (Pearson r):

\( r = \dfrac{\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sqrt{\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2 \;\; \sum_{i=1}^n (y_i-\bar{y})^2}} \)

Computational shortcut: \[ r = \frac{n\sum x_i y_i - (\sum x_i)(\sum y_i)} {\sqrt{\big(n\sum x_i^2 - (\sum x_i)^2\big)\big(n\sum y_i^2 - (\sum y_i)^2\big)}} \]

Interpretation

• \(r\) ranges from -1 to +1. Sign indicates direction, magnitude indicates strength.
• Rough benchmarks (contextual): small ≈ 0.10, medium ≈ 0.30, large ≈ 0.50.
• Correlation ≠ causation.

Hypothesis test

Null: \(\rho=0\). Test statistic:

\( t = r\sqrt{\dfrac{n-2}{1-r^2}} \) with \(df=n-2\).

95% Confidence Interval (Fisher z)

1. Transform: \( z' = \tfrac{1}{2}\ln\frac{1+r}{1-r} \)
2. SE = \(1/\sqrt{n-3}\)
3. CI on z': \( z' \pm z_{1-\alpha/2}\cdot SE \)
4. Back transform to r: \( r = \dfrac{e^{2z'}-1}{e^{2z'}+1} \)

Worked example

Data: X = [1,2,3,4,5], Y = [2,1,4,3,5]
Means: \( \bar X = 3, \; \bar Y = 3\).
Numerator \( \sum (x_i-\bar x)(y_i-\bar y) = 8\).
Denominator \( \sqrt{\sum (x_i-\bar x)^2 \sum (y_i-\bar y)^2} = 10 \).
So \( r = 8/10 = 0.80.\)

2. Spearman Rank Correlation (\(r_s\))

Use when: ordinal data, monotonic relationships, or to reduce influence of outliers.

If no ties: \( r_s = 1 - \dfrac{6\sum d_i^2}{n(n^2-1)} \), where \(d_i\) = difference in ranks.

If ties exist, compute average ranks and then compute Pearson correlation on the ranks: \( r_s = \text{PearsonCorr}(\text{rank}(X),\text{rank}(Y)) \).

3. Point–Biserial Correlation (one continuous, one dichotomous)

\( r_{pb} = \dfrac{\bar X_1 - \bar X_0}{s_X} \sqrt{\dfrac{n_1 n_0}{(n_1 + n_0)^2}} \)

Equivalent to Pearson correlation when dichotomy is coded 0/1.

4. Phi Coefficient (both dichotomous)

For a 2×2 table:

	Y=1	Y=0	Row total
X=1	a	b	a+b
X=0	c	d	c+d
Col total	a+c	b+d	n

\( \phi = \dfrac{ad - bc}{\sqrt{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}} \)

5. Partial Correlation (control variable Z)

First-order partial: \( r_{xy.z} = \dfrac{r_{xy} - r_{xz} r_{yz}}{\sqrt{(1-r_{xz}^2)(1-r_{yz}^2)}} \)

General approach: regress X on controls, regress Y on controls, correlate residuals.

Practical tips & pitfalls

• Always plot data (scatterplot) — visual check for nonlinearity/outliers.
• Correlation ≠ causation — consider confounders and directionality.
• Outliers strongly affect Pearson r; use Spearman if needed.
• Report r, n, p-value and 95% CI where possible.

Google Sheets / Excel quick formulas

=CORREL(rangeX, rangeY)    // Pearson correlation
=COVARIANCE.S(rangeX,rangeY)/(STDEV.S(rangeX)*STDEV.S(rangeY))    // alternate
// For Spearman: create ranks and then use =CORREL(ranksX, ranksY)

Note: For small n, CIs will be wide. Use Fisher z for confidence intervals.

1. पीयर्सन सहसम्बंध (रेखीय सहसम्बंध)

कब उपयोग करें: जब दोनों चर निरंतर (continuous) हों और सम्बन्ध लगभग रेखीय हो। परिकल्पना परीक्षण के लिए द्विव्यावहारिक सामान्यता (bivariate normality) या बड़ा नमूना आवश्यक है।

नमूना सूत्र (Pearson r):

\( r = \dfrac{\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sqrt{\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2 \;\; \sum_{i=1}^n (y_i-\bar{y})^2}} \)

सरल गणना वाला सूत्र: \[ r = \frac{n\sum x_i y_i - (\sum x_i)(\sum y_i)} {\sqrt{\big(n\sum x_i^2 - (\sum x_i)^2\big)\big(n\sum y_i^2 - (\sum y_i)^2\big)}} \]

व्याख्या

• \(r\) का मान -1 से +1 तक होता है। संकेत दिशा दर्शाता है; परिमाण शक्ति बताता है।
• सँकेत: small ≈ 0.10, medium ≈ 0.30, large ≈ 0.50 (संदर्भ अनुसार बदलते हैं)।
• सहसम्बंध का मतलब कारण-प्रभाव नहीं होता।

परिकल्पना परीक्षण

नल: \(\rho=0\). परिक्षेत्र सांख्यिकीय:

\( t = r\sqrt{\dfrac{n-2}{1-r^2}} \) जहाँ df = n-2।

95% आत्मविश्वास अंतराल (Fisher z)

1. रूपांतरण: \( z' = \tfrac{1}{2}\ln\frac{1+r}{1-r} \)
2. SE = \(1/\sqrt{n-3}\)
3. z' का CI: \( z' \pm z_{1-\alpha/2}\cdot SE \)
4. वापस r पर: \( r = \dfrac{e^{2z'}-1}{e^{2z'}+1} \)

उदाहरण (Worked example)

डेटा: X = [1,2,3,4,5], Y = [2,1,4,3,5]
माध्य: \( \bar X = 3, \; \bar Y = 3\).
योग: \( \sum (x_i-\bar x)(y_i-\bar y) = 8\).
हर भाग का वर्गजड़: \( 10\).
अतः \( r = 8/10 = 0.80.\)

2. स्पीयर्समैन रैंक सहसम्बंध (\(r_s\))

कब उपयोग करें: जब डेटा क्रमिक (ordinal) हो, गैर-रेखीय परन्तु मोनोटोनिक सम्बन्ध हो, या बाह्य मानों (outliers) से बचना हो।

यदि टाई नहीं हैं: \( r_s = 1 - \dfrac{6\sum d_i^2}{n(n^2-1)} \), जहाँ \(d_i\) रैंक का अन्तर है।

यदि टाई हों, तो औसत रैंक लेकर उन रैंकों पर Pearson correlation निकालें।

3. प्वाइंट-बाइसेरियल सहसम्बंध

\( r_{pb} = \dfrac{\bar X_1 - \bar X_0}{s_X} \sqrt{\dfrac{n_1 n_0}{(n_1 + n_0)^2}} \)

यह 0/1 कोडेड द्विआधारी चर के साथ Pearson के बराबर होता है।

4. फ़ाई गुणांक (Phi coefficient)

दोनों चर द्विआधारी हो (2×2 तालिका) तो उपयोग करें:

\( \phi = \dfrac{ad - bc}{\sqrt{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}} \)

5. आंशिक सहसम्बंध (Partial correlation)

प्रथम-क्रम आंशिक: \( r_{xy.z} = \dfrac{r_{xy} - r_{xz} r_{yz}}{\sqrt{(1-r_{xz}^2)(1-r_{yz}^2)}} \)

विस्तृत विधि: नियंत्रक चर निकालकर X और Y के अवशेष निकालें और उन अवशेषों का सहसम्बंध निकालें।

व्यावहारिक सुझाव

• डेटा की स्कैटरप्लॉट बनाइए—आउटलायर्स और nonlinearity का पता चलता है।
• छोटे नमूने में शक्ति कम होती है और CI चौड़े होते हैं।
• रिपोर्ट करते समय हमेशा r, n, p और 95% CI दें।

Google Sheets / Excel सूत्र

=CORREL(rangeX, rangeY)    // Pearson सहसम्बंध
// Spearman के लिए पहले रैंक निकालें और फिर =CORREL(ranksX, ranksY)

नोट: छोटी नमूना आकार के लिए Fisher z व् अन्य अनुकूल विधियों पर विचार करें।

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